Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（1）G是BC上的一点，且BD⊥EG，若x=3，求三棱锥B-AEG的体积；
（2）当x取何值时，三棱锥D-BCF的体积是最大值，最大值是多少．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）运用面面垂直的性质定理，可得AE⊥面EBCF，作DH⊥EF于H，连BH，GH，证得EG⊥BH，再由解直角三角形求得BG，再由V_B-AEG=V_A-BEG运用体积公式，即可得到；
（2）由面面垂直性质定理证出AE⊥面EBCF，结合（1）知AE=DH，利用锥体体积公式可得V_F-BCD，利用二次函数的图象与性质可得当x=2时，体积有最大值．

解答： 解：（1）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF，
∴AE⊥面EBCF，
作DH⊥EF于H，连BH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊥EF
∴DH⊥平面EBCF，即DH⊥EG，
由于BD⊥EG，则EG⊥平面BDH，EG⊥BH，
在直角三角形EBG中，tan∠EGB=

EB

BG

=

1

BG

，
在直角三角形EBH中，tan∠EHB=

EB

EH

=

1

2

，
由EG⊥BH，可得，tan∠EGB•tan∠EHB=1，即有BG=

1

2

．
则三棱锥B-AEG的体积为V_B-AEG=V_A-BEG
=

1

3

•AE•S_△BEG=

1

3

•3•

1

2

•1•

1

2

=

1

4

；
（2）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF，
∴AE⊥面EBCF，
由（1）知DH⊥平面EBCF，可得AE∥DH，AE=DH，
∴V_D-BFC=

1

3

S_△BFC•DH
=

1

3

S_△BFC•DH
=

1

3

•

1

2

•4•(4-x)•x=-

2

3

（x-2）²+

8

3

≤

8

3

，
因此，当且仅当x=2时，f（x）有最大值为

8

3

．

点评：本题给出平面图形的翻折问题，在所得几何体中证明线线垂直并求三棱锥体积的最大值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质、锥体体积和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．