Question

知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过原点与x轴不重合的直线与椭圆交于A，B二点，且|AF|+|BF|=2

2

，|AB|的最小值为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆x²+y²=

2

3

的任意一条切线l与椭圆E相交于P，Q两点，

OP

•

OQ

是否为定值？若是，求这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得2a=2

2

，2b=2，由此能求出椭圆E的方程．
（2）当l的斜率不存在时，

OP

•

OQ

=0．当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，3m²-2k²-2=0，把y=kx+m代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出

OP

•

OQ

=x_Px_Q+y_Py_Q=

3m2-2k2-2

1+2k2

0，从而求出

OP

•

OQ

为定值0．

解答： 解：（1）由|AF|+|BF|=2a=2

2

，得a=

2

，
由|AB|的最小值为2，得2b=2，解得b=1，
∴椭圆E的方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）①当l的斜率不存在时，l的方程为x=

6

3

或x=-

6

3

，
∴P（

6

3

，

6

3

），Q（

6

3

，-

6

3

）或P（-

6

3

，

6

3

），Q（-

6

3

，-

6

3

），
∴

OP

•

OQ

=0．
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
则满足：

|m|

k2+1

=

6

3

，即3m²-2k²-2=0，
把y=kx+m代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
xP+xQ=-

4km

1+2k2

，xPxQ=

2m2-2

1+2k2

，
y_Py_Q=（kx_P+m）（kx_Q+m）=

m2-2k2

1+2k2

，
∴

OP

•

OQ

=x_Px_Q+y_Py_Q=

3m2-2k2-2

1+2k2

，
由3m²-2k²-2=0，知

OP

•

OQ

=0，
综合①②可知

OP

•

OQ

为定值0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，解题向量的数量积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．