Question

已知函数g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅲ）若函数h（x）=g（x）-bx²恰有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导g′（x）=

lnx-1

ln2x

，从而写出g（x）的单调区间；
（Ⅱ）f（x）=

x

lnx

-ax，则原问题可化为f′（x）=

lnx-1

ln2x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≥

lnx-1

ln2x

在（1，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题；
（Ⅲ）由函数h（x）=g（x）-bx²恰有两个零点可得b=

1

xlnx

有两个不同的实数根，即

1

b

=xlnx有两个不同的实数根，从而化为求k（x）=xlnx的值域．

解答： 解：（Ⅰ）g′（x）=

lnx-1

ln2x

，
故g（x）的单调减区间是（0，e）；
单调增区间是[e，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=

x

lnx

-ax，
则f′（x）=

lnx-1

ln2x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx-1

ln2x

在（1，+∞）上恒成立，
∵

lnx-1

ln2x

=-（

1

lnx

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
∴a≥

1

4

，
故实数a的最小值为

1

4

；
（Ⅲ）∵函数h（x）=g（x）-bx²恰有两个零点，
∴b=

1

xlnx

有两个不同的实数根，
故

1

b

=xlnx有两个不同的实数根，
设k（x）=xlnx，
则k′（x）=lnx+1，
则k（x）在（0，+∞）上有最小值，
即k_min（x）=k（

1

e

）=-

1

e

；
当x₊→0时，k（x）→0，
当x→+∞时，k（x）→+∞，
故b＜-e．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，恒成立问题用到了分离常数法，属于难题．