Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由此能求出OD∥PA，PA?平面PAB，OD不包含于平面PAB，OD∥平面PAB．
（2）由已知得OA=OB=OC，取BC中点E，连结PE，作OF⊥PE于F，连结DF，∠ODF是OD与平面PBC所成的角．OD与平面PBC所成的角正弦值．

解答： （1）证明：∵O、D分别为AC、PC的中点，
∴OD∥PA，又PA?平面PAB，OD不包含于平面PAB，
∴OD∥平面PAB．（6分）
（2）解：∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC．
取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE．
作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC，
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
在Rt△ODF中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

．
∴OD与平面PBC所成的角正弦值为

210

30

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．