Question

已知等差数列{a_n}的前项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．数列{b_n}为等比数列，且首项b₁=1，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_bn，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式求出a₁=1，d=2，从而a_n=2n-1．利用等比数列的通项公式能求出q=2，从而b_n=2^n-1．（n∈N^*）
（2）由c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1，利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225，
∴

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵数列{b_n}为等比数列，且首项b₁=1，b₄=8，
∴b4=q3=8，解得q=2，
∴b_n=2^n-1．（n∈N^*）
（2）∵c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1
∴T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．