Question

（2012•鹰潭模拟）已知数列{a_n}的通项公式是an=-n2+12n-32，其前n项和是S_n，对任意的m，n∈N^*且m＜n，则S_n-S_m的最大值是

10

．

Answer 1

分析：分析二次函数y=-x²+12x-32=-（x-4）（x-8）该二次函数开口向下，当x=4或x=8时，y=0，且x＜4，y＜0  4＜x＜8，y＞0，所以n＜4，a_n＜0，S_n随着n增加而减小，n=3或n=4时，S_n取最小值，当4＜n＜8时，S_n随着n增加而增加，n=7或n=8时，S_n取最大值，故可得结论．

解答：解：分析二次函数y=-x²+12x-32=-（x-4）（x-8）
该二次函数开口向下，当x=4或x=8时，y=0，且x＜4，y＜0  4＜x＜8，y＞0
∴n＜4，a_n＜0，S_n随着n增加而减小，n=3或n=4时，S_n取最小值
当4＜n＜8时，S_n随着n增加而增加，n=7或n=8时，S_n取最大值
∴n＞m，S_n-S_m的最大值是S_n的最大值减去S_n的最小值．
∴S_n-S_m的最大值是S₈-S₄=a₈+a₇+a₆+a₅，
∵a₈=0，a₇=-（7-4）（7-8）=3，a₆=-（6-4）（6-8）=4，a₅=-（5-4）（5-8）=3
∴S₈-S₄=a₈+a₇+a₆+a₅=10
故答案为：10

点评：本题考查数列的应用，考查数列与函数的关系，确定数列的单调性是关键．