Question

13．设数列{a_n}满足a₁=0，且2a_n+1=1+a_na_n+1，b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{n}}$，记S_n=b₁+b₂+…+b_n，则S₁₀₀=$1-\frac{1}{\sqrt{101}}$．

Answer 1

分析 a₁=0，2a_n+1=1+a_na_n+1，可得：2a₂=1+0，解得a₂=$\frac{1}{2}$，同理可得：a₃=$\frac{2}{3}$，a₄=$\frac{3}{4}$，…，可得${a}_{n}=\frac{n-1}{n}$．可得b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=0，2a_n+1=1+a_na_n+1，
∴2a₂=1+0，解得a₂=$\frac{1}{2}$，
同理可得：a₃=$\frac{2}{3}$，a₄=$\frac{3}{4}$，…，
可得${a}_{n}=\frac{n-1}{n}$，代入验证成立．
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$（\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}）$+$（\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}）$
=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
则S₁₀₀=$1-\frac{1}{\sqrt{101}}$．
故答案为：$1-\frac{1}{\sqrt{101}}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．