Question

5．设x，y，z是大于0的实数，则$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 应用基本不等式可得解：3x²+3y²≥6xy，9x²+z²≥6xz，9y²+z²≥6yz；从而求最大值．

解答 解：∵3x²+3y²≥2$\sqrt{3{x}^{2}•3{y}^{3}}$=6xy，
（当且仅当x=y时，等号成立）；
9x²+z²≥6xz，
（当且仅当3x=z时，等号成立）；
9y²+z²≥6yz，
（当且仅当3y=z时，等号成立）；
∴12x²+12y²+2z²≥6（xy+yz+zx）；
（当且仅当3x=3y=z时，等号成立）；
∴$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用及学生的化简运算能力，属于中档题．