Question

10．设函数y=f（x）在[a，b]上可导且单调递增，则函数g（x）=$\frac{f（x）-f（a）}{x-a}$在（a，b）上的单调性为（　　）

• A． 单调递增
• B． 单调递减
• C． 不增不减
• D． 无法判断

Answer 1

分析 求导数得到$g′（x）=\frac{f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）]}{（x-a）^{2}}$，而由题意可知，x∈（a，b）时，f′（x）≥0，f（x）-f（a）＞0，从而看出不能判断g′（x）的符号，这样即得出g（x）在（a，b）上的单调性无法判断．

解答 解：根据题意，x∈[a，b]时，f′（x）≥0；
∴$g′（x）=\frac{f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）]}{（x-a）^{2}}$；
∵x∈（a，b）；
∴f′（x）（x-a）≥0，f（x）-f（a）＞0；
∴不能判断g′（x）的符号；
∴g（x）在（a，b）上的单调性无法判断．
故选D．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及增函数的定义，熟练商的导数的求法．