Question

1．设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）写出关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有解的充要条件；
（2）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）分析一元二次方程有实根的条件，利用根的判别式求解．
（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有解，
∴△=4a²-4b²≥0，
∴a²≥b²．
（2）由（1）得当a＞0，b＞0时，关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b
由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为P=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查根的判别式的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．