Question

设函数f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.
(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)(x≥1)，求证：当p≤－时，有g(x)≤0.

Answer 1

（1）f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
（2）见解析

(1)解：当p＝1时，f(x)＝ln x－x＋1，
其定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1＞0，得0＜x＜1，
由f′(x)<0，得x>1，
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，
单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)证明：由函数g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)
＝xln x＋p(x²－1)，
得g′(x)＝ln x＋1＋2px.
由(1)知，当p＝1时，f(x)≤f(1)＝0，
即不等式ln x≤x－1成立，
所以当p≤－时，g′(x)＝ln x＋1＋2px≤(x－1)＋1＋2px＝(1＋2p)x≤0，
即g(x)在[1，＋∞)上单调递减，
从而g(x)≤g(1)＝0满足题意．