Question

8．函数$y=\sqrt{1-{{（x+2）}^2}}$图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列．给出以下四个实数：
（1）$\frac{3}{2}$；（2）$\frac{1}{2}$；（3）$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；（4）$\sqrt{3}$．则不可能成为公比的数的序号是（2）．

Answer 1

分析 根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为$\sqrt{3}$，由此能求出结果．

解答 解：根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．
鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为：$\sqrt{3}$，
设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是a和b，则b=aq²，且ab=（aq）²=3，
所以aq=$\sqrt{3}$，所以q=$\frac{\sqrt{3}}{a}$，
当1≤a≤$\sqrt{3}$，则 1≤q≤$\sqrt{3}$；
当$\sqrt{3}$≤a≤3时，$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤q≤1
考查四个选项，只有$\frac{1}{2}$选项不符合上述范围．
故答案为：（2）．

点评 本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．