【题目】已知函数.
(1)若,且
,求证:
;
(2)若时,恒有
,求
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性,并设
,则
,
,将不等式
等价转化为证明
,构造函数
,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,通过推导出
来证得结论;
(2)构造函数,对实数
分
、
、
,利用导数分析函数
的单调性,求出函数
的最小值,再通过构造新函数
,利用导数求出函数
的最大值,可得出
的最大值.
(1),
,所以,函数
单调递增,
所以,当时,
,此时,函数
单调递减;
当时,
,此时,函数
单调递增.
要证,即证
.
不妨设,则
,
,
下证,即证
,
构造函数,
,所以,函数
在区间
上单调递增,
,
,即
,即
,
,
且函数
在区间
上单调递增,
所以,即
,故结论成立;
(2)由恒成立,得
恒成立,
令,则
.
①当时,对任意的
,
,函数
在
上单调递增,
当时,
,不符合题意;
②当时,
;
③当时,令
,得
,此时,函数
单调递增;
令,得
,此时,函数
单调递减.
.
.
令,设
,则
.
当时,
,此时函数
单调递增;
当时,
,此时函数
单调递减.
所以,函数在
处取得最大值,即
.
因此,的最大值为
.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
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【题目】为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:
处罚金额 | 5 | 10 | 15 | 20 |
会闯红灯的人数 | 50 | 40 | 20 | 10 |
若用表中数据所得频率代替概率.
(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?
(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;
类是其他市民.现对
类与
类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为
类市民的概率是多少?
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【题目】在直角坐标系中,直线
经过点
,其倾斜角为
.以原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的参数方程,若直线
与曲线
有公共点,求
的取值范围.
(2)设为曲线
上任意一点,求
的取值范围.
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【题目】如图1, 在直角梯形中,
,
,
,
为线段
的中点. 将
沿
折起,使平面
平面
,得到几何体
,如图2所示.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】某中学的十佳校园歌手有6名男同学,4名女同学,其中3名来自1班,其余7名来自其他互不相同的7个班,现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会,则选出的3名同学来自不同班级的概率为_____,设X为选出3名同学中女同学的人数,则该变量X的数学期望为_____.
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【题目】已知函数,
的最大值为
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅲ)当时,令
,是否存在区间
.使得函数
在区间
上的值域为
若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】2021年起,新高考科目设置采用“”模式,普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题,某校抽取了部分男、女学生调查选科意向,制作出如右图等高条形图,现给出下列结论:
①样本中的女生更倾向于选历史;
②样本中的男生更倾向于选物理;
③样本中的男生和女生数量一样多;
④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量.
根据两幅条形图的信息,可以判断上述结论正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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