Question

15．若函数f（x）同时满足：
①对于定义域上的任意x恒有f（x）+f（-x）=0，
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，则称函数f（x）为“理想函数”．
给出下列四个函数中：（1）f（x）=x，（2）f（x）=$\frac{1}{x}$，（3）f（x）=x²，（4）f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}，x≤0}\\{{x^2}，x＞0}\end{array}}$．
能被称为“理想函数”的有（1）（4）．（填写相应序号）

Answer 1

分析 由“理想函数”的定义可知：若f（x）是“理想函数”，则f（x）为定义域上的单调递增的奇函数，将四个函数一一判断即可．

解答 解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数；
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）是单调递增函数．
故f（x）为定义域上的单调递增的奇函数．
（1）f（x）=x在定义域R上既是奇函数，又是增函数，所以是“理想函数”；
（2）f（x）=$\frac{1}{x}$在定义域上不是增函数，所以不是“理想函数”；
（3）f（x）=x²在定义域R上不是奇函数，所以不是“理想函数”；
（4）由图象可知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$在定义域R上既是奇函数，又是增函数，所以是“理想函数”．

故答案为：（1）（4）

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题．