Question

3．已知函数g（x）=$\frac{x+1}{x+2}$，f（x）=x+$\frac{1}{g（x）}$．
（1）写出函数f（x）的定义域
（2）求证．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式，求出f（x）的定义域即可；
（2）利用单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）∵函数g（x）=$\frac{x+1}{x+2}$，
f（x）=x+$\frac{1}{g（x）}$=x+$\frac{x+2}{x+1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2≠0}\\{\frac{x+1}{x+2}≠0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≠-2}\\{x≠-1}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的定义域为
（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，+∞）；…（4分）
（2）f（x）=x+$\frac{x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+1+$\frac{1}{{x}_{1}+1}$）-（x₂+1+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{{x}_{1}x}_{2}{+x}_{1}{+x}_{2}}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$；
∵x₁，x₂∈（0，+∞），
∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+2）}}＞0$，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（8分）

点评 本题考查了根据函数的解析式求定义域以及利用定义证明函数的单调性问题，是基础题目．