分析:(1)由二次函数g(x)=ax
2-2ax+1+b的对称轴为x=1,由题意得
| a>0 | g(2)=1+b=1 | g(3)=3a+b+1=4 |
| |
,或
| a<0 | g(2)=1+b=4 | g(3)=3a+b+1=1 |
| |
,解得a、b的值,即可得到函数f(x)的解析式.
(2)不等式即
k≤()2-2•()+1,在
x∈时,设
t=∈,则k≤(t-1)
2,
根据(t-1)
2min>0,求得实数k的取值范围.
解答:解:(1)由于二次函数g(x)=ax
2-2ax+1+b的对称轴为x=1,
由题意得:1°
| a>0 | g(2)=1+b=1 | g(3)=3a+b+1=4 |
| |
,解得
.
或 2°
| a<0 | g(2)=1+b=4 | g(3)=3a+b+1=1 |
| |
,解得
.(舍去)
∴a=1,b=0…(6分)
故g(x)=x
2-2x+1,
f(x)=x+-2. …(7分)
(2)不等式f(2
x)-k•2
x≥0,即
2x+-2≥k•2x,∴
k≤()2-2•()+1.…(10分)
在
x∈时,设
t=∈,∴k≤(t-1)
2,
由题意可得,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},故t≠1,即
≤t≤2,且t≠1.
∵(t-1)
2min>0,∴k≤0,即实数k的取值范围为(-∞,0].…(14分)
点评:本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,用待定系数法求函数的解析式,函数的恒成立问题,属于中档题.