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(2012•虹口区二模)已知:函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间
2,3
上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=
g(x)
x

(1)求a、b的值及函数f(x)的解析式;
(2)若不等式f(2x)-k•2x≥0在x∈
-1,1
时恒成立,求实数k的取值范围.
分析:(1)由二次函数g(x)=ax2-2ax+1+b的对称轴为x=1,由题意得
a>0
g(2)=1+b=1
g(3)=3a+b+1=4
,或 
a<0
g(2)=1+b=4
g(3)=3a+b+1=1
,解得a、b的值,即可得到函数f(x)的解析式.
(2)不等式即 k≤(
1
2x
)2-2•(
1
2x
)+1
,在x∈
-1,1
时,设t=
1
2x
1
2
,2
,则k≤(t-1)2
根据(t-1)2min>0,求得实数k的取值范围.
解答:解:(1)由于二次函数g(x)=ax2-2ax+1+b的对称轴为x=1,
由题意得:1°
a>0
g(2)=1+b=1
g(3)=3a+b+1=4
,解得
a=1
b=0

或  2°
a<0
g(2)=1+b=4
g(3)=3a+b+1=1
,解得
a=-1
b=3>1
.(舍去) 
∴a=1,b=0…(6分)
故g(x)=x2-2x+1,f(x)=x+
1
x
-2
. …(7分)
(2)不等式f(2x)-k•2x≥0,即2x+
1
2x
-2≥k•2x
,∴k≤(
1
2x
)2-2•(
1
2x
)+1
.…(10分)
x∈
-1,1
时,设t=
1
2x
1
2
,2
,∴k≤(t-1)2
由题意可得,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},故t≠1,即
1
2
≤t≤2,且t≠1.
∵(t-1)2min>0,∴k≤0,即实数k的取值范围为(-∞,0].…(14分)
点评:本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,用待定系数法求函数的解析式,函数的恒成立问题,属于中档题.
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b
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