Question

已知△ABC中，A=120°，AB=AC，BC=12

3

．
（1）求△ABC的面积；
（2）若M是AC边的中点，求BM；
（3）求sin∠AMB的值．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：解三角形

分析：（1）取BC中点D，连结AD，由已知得AB=AC=12，BD=CD=6

3

，AD=6，由此能求出△ABC的面积．
（2）由M是AC边的中点，利用余弦定理能求出BM．
（3）由S_△ABM=

1

2

AM×BM×sin∠ANB=

1

2

S△ABC，能求出sin∠AMB．

解答： 解：（1）取BC中点D，连结AD，
∵△ABC中，A=120°，AB=AC，BC=12

3

，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴AB=AC=12，BD=CD=6

3

，AD=6，
∴△ABC的面积S=

1

2

BC×AD=

1

2

×12

3

×6=36

3

．
（2）∵M是AC边的中点，
∴BM=

AB2+AM2-2AB•AMcos∠BAM

=

144+36-2×12×6×cos120°

=6

7

．
（3）∵S_△ABM=

1

2

AM×BM×sin∠ANB=

1

2

S△ABC，
∴

1

2

×6×6

7

×sin∠AMB=18

3

，
∴sin∠AMB=

21

7

．

点评：本题考查△ABC的面积的求法，考查BM长的求法，考查sin∠AMB的值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．