Question

椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的上，下顶点分别为A₁，A₂，左顶点为B₁，左焦点为F₁，若直线A₁F₁交直线A₂B₁于点D，则cos∠B₁DF₁=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出直线A₁F₁的方程

3

x-y+

3

=0，直线A2 B2的方程

3

x+2y+2

3

=0，从而求出

DB1

=（-

2

3

，

3

3

），

DF1

=（

1

3

，

3

3

），由此能求出cos∠B₁DF₁的值．

解答： 解：∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的上，下顶点分别为A₁，A₂，左顶点为B₁，左焦点为F₁，
∴A₁（0，

3

），A₂（0，-

3

），左顶点为B₁（-2，0），左焦点为F₁（-1，0），
∴直线A₁F₁的方程为

x

-1

+

y

3

=1，即

3

x-y+

3

=0，
直线A2 B2的方程为

x

-2

+

y

- 3

=1，即

3

x+2y+2

3

=0，
解方程组

3 x-y+ 3 =0 3 x+2y+2 3 =0

，得D（-

4

3

，-

3

3

），
∵B₁（-2，0），
∴

DB1

=（-

2

3

，

3

3

），

DF1

=（

1

3

，

3

3

），
cos＜

DB1

，

DF1

＞=

- 2 9 + 1 3

4 9 + 3 9 • 1 9 + 3 9

=

7

14

．
∴cos∠B₁DF₁=

7

14

．
故答案为：

7

14

．

点评：本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线的截距式方程和向量知识的合理运用．