Question

4．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（5，-10），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（3，6），则$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 设出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标，利用$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$列出方程，求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标，再求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（5，-10），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=5}\\{{x}_{1}{-x}_{2}=3}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=-10}\\{{y}_{1}{-y}_{2}=6}\end{array}\right.$，
解得x₁=4，x₂=1，y₁=-2，y₁=-8，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，-8）；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为：
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4×1+（-2）×（-8）}{\sqrt{{4}^{2}{+（-2）}^{2}}×\sqrt{{1}^{2}{+（-8）}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示以及求向量夹角的应用问题，是基础题目