Question

14．已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）在区间[-$\frac{3}{2}$，2]上的最大值为1，则a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数解析式，分类讨论，确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解a．

解答 解：a=0时，f（x）=-x-3，f（x）在[-$\frac{3}{2}$，2]上不能取得1，故a≠0．
故f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0），它的对称轴方程为x₀=$\frac{1-2a}{2a}$，
①令f（-$\frac{3}{2}$）=1，解得a=-$\frac{10}{3}$，此时x₀=-$\frac{23}{20}$，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f（-$\frac{3}{2}$）=1不合适．
②令f（2）=1，解得a=$\frac{3}{4}$，此时x₀=-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{3}{2}$，2]．
因为a=$\frac{3}{4}$，x₀=-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{3}{2}$，2]且距右端2较远，所以f（2）最大，满足条件，合适．
③令f（x₀）=1，得a=$\frac{1}{2}$，经验证a=$\frac{1}{2}$，满足条件．
综上，a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考察二次函数的性质，对于给出最值求参题目，一般要结合题中所给解析式大致确定函数图象、分类讨论来研究，解题的关键是找出对称轴与区间的关系，属于中档题．