Question

2．函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-4x+3}$
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）若满足x∈[0，3]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=x²-4x+3，则y=（$\frac{1}{2}$）^t在R上递减，运用复合函数的单调性：同增异减，求得二次函数的区间，即可得到所求单调区间和值域；
（2）由（1）的单调性可得f（x）在[0，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，即有f（2）取得最大值，比较f（0）和f（3），可知最小值．

解答 解：（1）令t=x²-4x+3，
则y=（$\frac{1}{2}$）^t在R上递减，
由t在（-∞，2）递减，（2，+∞）递增，
可得函数f（x）的单调递增区间为（-∞，2），
单调递减区间为为（2，+∞），
当x=2时，函数数f（x）有最大值，
f（2）=2，且f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-4x+3}$＞0，
故值域为（0，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）在[0，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，
所以最大值为f（2）=2，
由f（0）=$\frac{1}{8}$，f（3）=1，所以最小值为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查复合函数的单调区间和最值、值域的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．