Question

17．如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=BC₁=$\sqrt{2}$，AB=CC₁=2，点E在棱BB₁上．
（Ⅰ）证明C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试确定点E位置，使得二面角A-C₁E-C  的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出C₁B⊥BC，AB⊥BC₁，由此能证明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）以B为空间坐标系的原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-C₁E-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为BC=$\sqrt{2}$，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，
在△BCC₁中，由余弦定理，得C₁B=$\sqrt{2}$，…（2分）
所以C₁B²+BC²=CC$\o（2，1）$，C₁B⊥BC．
又AB⊥侧面BCC₁B₁，故AB⊥BC₁，
又CB∩AB=B，所以C₁B⊥平面ABC．  …（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC，BA，BC₁两两垂直，
以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$λ，0，$\sqrt{2}$λ-$\sqrt{2}$），
设平面AC₁E的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}A}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y-\sqrt{2}z=0}\\{\sqrt{2}λx+（\sqrt{2}-\sqrt{2}λ）z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，取$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}（λ-1）}{λ}$，1，$\sqrt{2}$），…（9分）
又平面C₁EC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{2（λ-1）^{2}}{{λ}^{2}}+3}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
所以当λ=$\frac{1}{2}$时，二面角A-C₁E-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．