Question

14．已知命题p：$\frac{a-2}{a}$＞2，命题q：?x∈[1，2]，x²-ax+1＞0．若p∧q与?q同时为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p∧q与?q同时为假命题，则p假且q真，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：$\frac{a-2}{a}$＞2得：-2＜a＜0，
故命题p：?-2＜a＜0，
命题q：?x∈[1，2]，x²+1＞ax$??x∈[{1，2}]，\frac{{{x^2}+1}}{x}＞a$$?（{\frac{{{x^2}+1}}{x}}）max＞a$?$\frac{5}{2}＞a$
因p∧q与?q同时为假命题，所以p假且q真
又?p：a≤-2或a≥0，所以实数a满足$\left\{\begin{array}{l}a≤-2或a≥0\\ a＜\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
故实数a满足$a≤-2或[{0，\frac{5}{2}}）$．

点评 本题以命题的真假与应用为载体，考查复合命题，分式不等式解法，存在性问题，难度中档．