Question

19．直线l：y=kx+m与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（1）原点到l的距离为1，求出k和m的关系；
（2）若l与C交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求出k和m的关系．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，化为：4k²+3＞m²．由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，代入即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，可得m²=1+k²．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化为：4k²+3＞m²．
∴x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化为：7m²-12k²=12（4k²+3＞m²）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．