Question

16．设数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$，c_n=a_n+b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ；
（2）由b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n，采用分组求和及等比数列通项公式和“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=2，
∴当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时，成立，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ；
（2）b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
由c_n=a_n+b_n，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=2+2²+2³+…+2ⁿ+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n+1）n}$
=2+2²+2³+…+2ⁿ+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2ⁿ⁺¹-2+1-$\frac{1}{n+1}$，
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1，
数列{c_n}的前n项和T_n=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1．

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查分组求和，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．