Question

12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（cosβ）
• D． f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 根据已知条件能够得到f（x）是周期为2的周期函数，且在[0，1]上单调递减，再根据α，β为锐角三角形的两个锐角即可得到1＞sin＞cosβ＞0，从而根据f（x）在[0，1]上的单调性即可得出f（sinα）＜f（cosβ）．

解答 解：由f（x+1）=-f（x）得，f（x+2）=f（x）；
∴f（x）是以2为周期的周期函数；
∵f（x）是R上的偶函数，且在[5，6]上是增函数；
∴f（x）在[-6，-5]上为减函数；
∴f（x）在[0，1]上为减函数；
∵α，β是锐角三角形的两个锐角；
∴α+β＞$\frac{π}{2}$；
∴α＞$\frac{π}{2}$-β，α，$\frac{π}{2}$-β∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ且sinα，cosβ∈（0，1）；
∴f（sinα）＜f（cosβ）．
故选：C．

点评 考查周期函数的定义，偶函数的定义，以及偶函数在对称区间上的单调性特点，知道周期函数经过k个周期后，该函数单调性不变，锐角三角形两内角和的范围，正弦函数的单调性，函数单调性定义的运用．