Question

7．已知函数f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+1（x∈R），其中a＞0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若对?x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（x）＜a²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求出x=2处的斜率，根据点斜式写出切线方程；
（2）要使对?x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（x）＜a²恒成立，即f（x）_max＜a²；利用导数判断单调性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）由a=1，所以f（x）=x³-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+1，f（2）=3；
又f'（x）=3x²-3x，所以k=f'（x）=6；
所以切线方程为y-3=6（x-2）；
切线方程为：y=6x-9．
（2）f'（x）=3ax²-3x            
令f'（x）=3ax²-3x=0；⇒x₁=0，x₂=$\frac{1}{a}$；
因为a＞0，所以y=f（x）在（-∞，0]，[$\frac{1}{a}$，+∞）递增，在（0，$\frac{1}{a}$）递减；
要使对?x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（x）＜a²恒成立，即f（x）_max＜a²，
1°．当$\frac{1}{2}≤\frac{1}{a}$时，即0＜a≤2时，y=f（x）在[-1，0]递增，在（0，$\frac{1}{2}$）递减；
f（x）_max=f（0）=1＜a²  所以1＜a≤2；              
2°．当$\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$时，即a＞2时，y=f（x）在[-1，0]递增，在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在[$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$]递增；
 $f（x）_{max}=max\{f（0），f（\frac{1}{2}）\}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a+5}{8}$=f（0）=1⇒a=3；        
①当2＜a＜3时，$f（x）_{max}=max\{f（0），f（\frac{1}{2}）\}$=f（0）=1＜a²  所以2＜a＜3；
②当a≥3时，$f（x）_{max}=max\{f（0），f（\frac{1}{2}）\}$=f（$\frac{1}{2}$）＜a²，
即8a²-a-5＞0 对?a≥3都成立；             
综合1，2得：a＞1

点评 本题主要考查了利用导数求斜率，直线方程以及利用导数判断函数的单调性与最值等知识点，属中等题．