Question

7．如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E
（1）求证：AD⊥CD
（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．
（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，JK DC．

解答 （1）证明：连接BC．
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA=∠B．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．
（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC²，即DA×（DA-3）=4，
解得：DA=4．
由（1）知：AD⊥CD，∴AC²=AD²+CD²=20，
又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=5．∴OC=$\frac{AB}{2}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．