Question

已知圆O的半径为R （R为常数），它的内接三角形ABC满足2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB成立，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，
（1）求角C；
（2）求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理，可得c²=a²+b²-

2

ab，再利用余弦定理知cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，即可求得角C；
（2）由（1）知，C=

π

4

，A+B=

3π

4

，S=

1

2

absinC=

2

R²sinA•sin（

3π

4

-A），利用两角和与差的正弦即可求得S=

2

2

R²sin（2A-

π

4

）+

R2

2

，从而可求得三角形ABC面积S的最大值．

解答： 解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
∴4R²（sin²A-sin²C）=2R（

2

a-b）sinB，
由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入，
得a²-c²=

2

ab-b²，
∴c²=a²+b²-

2

ab，
由余弦定理知，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴C=

π

4

；
（2）由（1）知，C=

π

4

，A+B=

3π

4

，
∴S=

1

2

absinC
=

2

4

ab
=

2

4

•4R²sinA•sinB
=

2

R²sinA•sin（

3π

4

-A）
=

2

R²[sinA（

2

2

cosA+

2

2

sinA）]
=

2

R²[（

2

4

sin2A-

2

4

cos2A）+

2

4

]
=

2

2

R²sin（2A-

π

4

）+

R2

2

，
当且仅当A=B=

3π

8

时，S_max=

2 +1

2

R2．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的正弦的综合应用，考查转化思想与运算能力，属于难题．