Question

已知函数h（x）=x²-1，f（x）=丨h（x）丨+x²+kx
（1）当x∈（0，2）时，f（x）是单调函数，求实数k的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁、x₂，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数和分段函数的单调性，即可求出k的取值范围．
（2）由f（x）=0得丨x²-1丨=-x²-kx，设y=丨x²-1丨，y=-x²-kx，分别作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．

解答： 解：（1）∵h（x）=x²-1，
∴当h（x）=x²-1＞0得x＞1或x＜-1，
当h（x）=x²-1≤0得-1≤x≤1，
则f（x）=丨h（x）丨+x²+kx=丨x²-1丨+x²+kx，
当0＜x≤1时，f（x）=1-x²+x²+kx=kx+1，
当1＜x＜2时，f（x）=x²-1+x²+kx=2x²+kx-1，
∵当x∈（0，2）时，f（x）是单调函数，
∴若函数为递减函数，则

k＜0 - k 4 ≥2 k+1≥2+k-1

，
即

k＜0 k≤-8 1≥1

，∴k≤-8．
若函数为递增函数，则

k＞0 - k 4 ≤1 k+1≤2+k-1

，
即

k＞0 k≥-4 1≤1

，∴k＞0，
综上k＞0或k≤-8．
（2）∵f（x）=丨h（x）丨+x²+kx=丨x²-1丨+x²+kx，
∴f（x）=

1+kx 0≤x≤1 2x2+kx-1 x＞1

，
∵f（1）=1+k，
∴①若1+k≥0，（如图1）

要使函数在（0，2）上有两个不同的零点，则

1+k≥0 △=k2+8＞0 f(2)=7+2k＞0 1＜- k 2×2 ＜2

即

k＞-1 k＞- 7 2 -8＜k＜-4

．此时无解．
②若1+k≤0，如图2．
要使函数在（0，2）上有两个不同的零点，则

1+k＜0 △=k2+8＞0 f(2)=7+2k＞0 - k 2×2 ＜2

，
即

k＞-1 k＞- 7 2 k＞8

，
解得-

7

2

＜k＜-1．
综上k的取值范围是（-

7

2

，-1）．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．