Question

函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．
（1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若n=-1，根据函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，利用定义法建立条件关系，即可求实数b的取值范围；
（2）根据]，|f₂（x）-f₂（x）|≤4恒成立，只要求出函数f（x）在∈[-1，1]上的最大值和最小值即可．

解答： 解：（1）n=-1时，f(x)=

1

x

+bx+c
任设x₁＞x₂≥2，f(x1)-f(x2)=

1

x1

+bx1+c-(

1

x2

+bx2+c)=

(x1-x2)(bx1x2-1)

x1x2

，
∵x₁＞x₂≥2，
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，
因为函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，故恒有f（x₁）＞f（x₂），
从而恒有bx₁x₂-1＞0，即恒有b＞

1

x1x2

，
当x₁＞x₂≥2时，x₁x₂＞4，
∴

1

x1x2

＜

1

4

，
∴b≥

1

4

．
（2）当n=2时f2(x)=x2+bx+c
对任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，
当-

b

2

＜-1，即b＞2时，f₂（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴f₂（x）_min=f₂（-1）=1-b+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M=2b＞4，与题设矛盾；
当-1≤-

b

2

≤0，即0≤b≤2时，f₂（x）在x∈[-1，-

b

2

]上单调递减，在x∈[-

b

2

，1]上单调递增，
∴f2(x)min=f2(-

b

2

)=-

b2

4

+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M=(

b

2

+1)2≤4恒成立，
∴0≤b≤2；
当0＜-

b

2

≤1，即-2≤b＜0时，f₂（x）在x∈[-1，-

b

2

]上单调递减，在x∈[-

b

2

，1]上单调递增，
∴f2(x)min=f2(-

b

2

)=-

b2

4

+c，f₂（x）_max=f₂（-1）=1-b+c，
即M=(

b

2

-1)2≤4恒成立，
∴-2≤b＜0；
当-

b

2

＞1，即b＜-2时，f₂（x）在x∈[-1，1]上单调递减，
∴f₂（x）_min=f₂（1）=1+b+c，f₂（x）_max=f₂（-1）=1-b+c，
∴M=-2b＞4，与题设矛盾．
综上所述，实数b的取值范围是-2≤b≤2．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，将不等式恒成立转化为求函数的最大值和最小值是解决本题的根据，考查学生的计算能力．