Question

函数f（x）=lg（x²+2x+

a

x

），x∈（0，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意义，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据对数函数的性质建立不等式关系，利用参数恒成立的关系，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=lg（x²+2x+

a

x

），x∈（0，+∞），
∴若对任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意义，
则x²+2x+

a

x

＞0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a＞-x³-2x²在x∈[1，+∞）上恒成立，
设g（x）=-x³-2x²，则g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

），
则当x∈[1，+∞）时，g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

）＜0恒成立，
即函数在[1，+∞）上单调递减，
∴g（x）的最大值为g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用对数函数的性质，根据函数单调性与导数之间的关系研究函数的单调性是解决的关键．