Question

设

x

+

y

≤k 

x+y

对一切x，y∈R都成立，求k的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先对不等式两边平方，整理，再求出表达式的最大值，令其小于等于k²-1即可解出符合条件的k的范围，从中求出最小值即可．

解答： 解：由题意x，y，k∈R⁺，

x

+

y

≤k

x+y

恒成立
故有x+y+2

xy

≤k²（x+y）
即k²-1≥

2 xy

x+y

由于

2 xy

x+y

≤

x+y

x+y

=1
k²-1≥1，解得k≥

2

则k的最小值是：

2

．

点评：本题考点是不等式的综合，综合考查了利用不等式的性质与基本不等式求不等式恒成立问题中的参数的取值范围，求解本题的关键是将不等式变形分离出常数，且分离后变成可以应用基本不等式的形式．