Question

已知函数f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3；

（Ⅰ）用五点法作出它在[0，4π]上的简图；
（Ⅱ）若x∈[

π

3

，

4π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,作图题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）令

x

2

+

π

6

=

π

6

，

π

2

，π，

3π

2

，2π，

13π

6

，得到相应的x的值，列表如下，作出它在[0，4π]上的简图即可；
（Ⅱ）x∈[

π

3

，

4π

3

]⇒

x

2

+

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]⇒sin（

x

2

+

π

6

）∈[

1

2

，1]，从而可求f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）令

x

2

+

π

6

=

π

6

，

π

2

，π，

3π

2

，2π，

13π

6

，得到相应的x的值，列表如下：

作图如下：

（Ⅱ）若x∈[

π

3

，

4π

3

]，
则

x

2

+

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（

x

2

+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴y=f（x）=3sin（

x

2

+

π

6

）+3∈[

9

2

，6]，
∴当x∈[

π

3

，

4π

3

]时，f（x）_max=6，f（x）_min=

9

2

．

点评：本题考查正弦函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，考查列表作图能力，与分析运算能力，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．