Question

设数列{a_n}是等差数列，若{a_n}中存在一项可以表示为该数列的连续三项之和，则称数列{a_n}为“可拆数列”．
（1）若{a_n}为递增的“可拆数列”，且各项为整数，a₁=5，求公差d的取值集合；
（2）若{a_n}公差不为零且存在正整数m使a_m+1，a_2m，a_3m成等比数列，求证{a_n}为“可拆数列”；
（3）若{a_n}为“可拆数列”且a₁=2^k（k∈N⁺），S_n表示数列{a_n}的前n项和，当{a_n}公差最大时，求满足200S_k＞a_k²的正整数k的最大值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，利用等差数列的通项公式可得d与a₁的关系，然后根据d的取值范围进行求解；
（2）根据a_m+1，a_2m，a_3m成等比数列，可得d=

a1

m2-3m+1

，利用d=

a1

k-p-q+1

，可得证；
（3）由（1）知，当{a_n}公差最大时，d=a₁=2^k，求出S_n，即可求出满足200S_k＞a_k²的正整数k的最大值．

解答： （1）解：由题意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差数列的通项公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1），
整理得d=

a1

k-p-q+1

，
若a₁=5，则d=

5

k-p-q+1

，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，5，
故d的取值集合为 {1，5}；
（2）证明：∵a_m+1，a_2m，a_3m成等比数列，
∴a_2m²=a_m+1a_3m，
∴[a₁+（2m-1）d]²=（a₁+md）[a₁+（3m-1）d]，
∵{a_n}公差不为零，
∴d=

a1

m2-3m+1

，
由（1）知k-p-q=m²-3m时，{a_n}为“可拆数列”；
（3）解：由（1）知，当{a_n}公差最大时，d=a₁=2^k，
∴S_k=k•2^k+

k(k-1)

2

•2^k=

k(k+1)

2

•2^k，
∵200S_k＞a_k²，
∴200•

k(k+1)

2

•2^k＞k²•2^2k，
∴100（k+1）＞k•2^k，
∴满足200S_k＞a_k²的正整数k的最大值为7．

点评：本题考查新定义，考查了等差数列的通项公式，运用了解方程求正整数根的解题思想，特别注意p、q、k、d∈N^*这一条件的运用．