Question

解指、对数不等式：
（1）4^x-2^x-6＜0；
（2）log₂2x•log₂

x

4

＞0；
（3）

5x-1

＞5^x-3；
（4）log_x5-2log 

5

x＞3；
（5）

2

1-logax

≥2log_ax+3（0＜a＜1）．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）因式分解后直接求解指数不等式得答案；
（2）把不等式左边化为log₂x的形式，求解二次不等式得log₂x的范围，进一步求解对数不等式得答案；
（3）分类讨论求解无理不等式，转化为不等式组后得到5^x的范围，求解指数不等式得答案；
（4）利用换元法求解，得到log₅x的范围，然后求解对数不等式得答案；
（5）把不等式移项，通分后利用穿根法求解关于log_ax的不等式，得到log_ax的范围后求解对数不等式得答案．

解答： 解：（1）由4^x-2^x-6＜0，得（2^x+2）（2^x-3）＜0，
即-2＜2^x＜3，
∴x＜log₂3．
∴4^x-2^x-6＜0的解集为（-∞，log₂3）；
（2）由log₂2x•log₂

x

4

＞0，得
（1+log₂x）（log₂x-2）＞0，即log₂x2，
解得，0＜x＜

1

2

或x＞4．
∴log₂2x•log₂

x

4

＞0的解集为(0，

1

2

)∪（4，+∞）；
（3）

5x-1

＞5^x-3?

5x-3＜0 5x-1≥0

①或

5x-3≥0 5x-1＞0 5x-1＞(5x-3)2

②
解①得0≤x＜log₅3；
解②得3≤5^x＜5，即log₅3≤x＜1．
∴

5x-1

＞5^x-3的解集为[0，1）；
（4）由log_x5-2log 

5

x＞3，
得log_x5-4log₅x-3＞0，
令log₅x=t，则不等式化为

1

t

-4t-3＞0，
即

1-4t2-3t

t

＞0，t（t+1）（4t-1）＜0，
解得t＜-1或0＜t＜

1

4

．
即log₅x＜-1或0＜log₅x＜

1

4

，
∴0＜x＜

1

5

或1＜x＜

4	5

．
∴log_x5-2log 

5

x＞3的解集为(0，

1

5

)∪(1，

4	5

)；
（5）由

2

1-logax

≥2log_ax+3，
得

2

1-logax

-2log_ax-3≥0，

2-2logax+2log2ax-3+3logax

1-logax

≥0，
即

2log2ax+logax-1

logax-1

≤0，

(logax+1)(2logax-1)

logax-1

≤0，
解得，log_ax≤-1或

1

2

≤logax＜1．
∵0＜a＜1，
∴x≥

1

a

或a＜x≤

a

．
∴

2

1-logax

≥2log_ax+3（0＜a＜1）的解集为(a，

a

]∪[

1

a

，+∞)．

点评：本题考查了指数不等式和对数不等式的解法，考查了换元法，训练了穿根法求解不等式，是中档题．