Question

已知向量

m

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

n

=（f（x），cosωx），其中ω≠0且

m

⊥

n

，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为

3

2

π．
（1）求ω的值；
（2）探讨函数f（x）在（-π，π）上的单调性．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意知，f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由其周期T=

2π

2ω

=3π，即可求得ω的值；
（2）x∈（-π，π）⇒-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

，利用-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

π

2

可求得函数f（x）单调递增区间，利用

π

2

≤

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

可求函数f（x）单调递减区间．

解答： 解：（1）由题意，得

m

•

n

=0，
∴f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）
=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

．
根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，
又ω＞0，
∴ω=

1

3

；
（2）由（1）知f（x）=sin（

2

3

x+

π

6

）+

1

2

，
∵x∈（-π，π），∴-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

，
当-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

π

2

，即-π＜x＜

π

2

时，函数f（x）单调递增；
当

π

2

≤

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

，即

π

2

≤x＜π时，函数f（x）单调递减．
综上可知，函数f（x）在（-π，

π

2

）上单调递增，在[

π

2

，π）上单调递减．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，考查向量数量积的坐标运算，烤箱运算求解能力，属于中档题．