Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12．
（1）求a，b，c的值；
（2）证明：函数f（x）在R上为增函数；
（3）若关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性性和条件，建立方程即可求a，b，c的值；
（2）根据函数单调性的定义直接证明函数f（x）在R上为增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化然后利用二次函数的性质解决恒成立问题．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=3，f（2）=12．
∴

a+c=3 8a+2c=12

，
解得

a=1 c=2

，
∴a，b，c的值分别为1，0，12；
（2）由（1）得f（x）=x³+2x，
设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

x

3 1

+2x1-(

x

3 2

+2x2)
=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x22+2]，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
∴f（x_1）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在R上为增函数；
（3）由（1）和（2）得到函数为奇函数且为增函数，
∵关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k），
∴f（x²-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
∴x²-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
设g（x）=x²+kx+2k-4，
∴

g(0)≤0 g(1)≤0

，
∴

2k-4≤0 3k-3≤0

，
∴k≤1，
∴k的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题重点考查函数的基本性质，函数的图象与性质，属于中档题，难度中等，