Question

给出下列命题：
①函数y=x-1，y=x

1

2

，y=(x-1)2，y=x³中，有三个函数在区间（0，+∞）上单调递增；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③已知函数f(x)=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，那么方程f(x)=

1

2

有两个实数根．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：①利用指数函数与幂函数的单调性，对y=x^-1、y=（x-1）²、y=x

1

2

与y=x³四个函数在区间（0，+∞）上单调性逐个分析即可；
②利用对数函数的性质，结合图象法分析即可；
③在同一直角坐标系中，作出函数f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

与y=

1

2

的图象，观察即可得到结论．

解答： 解：①∵y=x^-1在区间（0，+∞）上单调递减，y=（x-1）²在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，y=x

1

2

与y=x³两个函数在区间（0，+∞）上单调递增，
故①错误；
②∵log_m3＜log_n3＜0，

∴0＜m＜1，0＜n＜1且n＜m，
即0＜n＜m＜1，故②正确；
③∵f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，其图形如下：

由图知，方程f（x）=

1

2

有两个实数根，故③正确，
综上所述，正确命题的个数为2个．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的单调性与图象的综合应用，考查作图与分析、运算的能力，属于难题．