Question

已知集合A={x|x²+px-2q=0}，B={x|x²+qx-4q²+2p=0}，试判断“实数p=q=1”是“1∈A∩B”的什么条件，并说明理由．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据充分条件和必要条件的定义，以及集合的基本运算即可得到结论．

解答： 解：“实数p=q=1”是“1∈A∩B”的充分不必要条件．
证明：
若p=q=1，则A={x|x²+px-2q=0}={x|x²+x-2=0}={x|x=1或x=-2}={1，-2}，
B={x|x²+qx-4q²+2p=0}={x|x²+x-2=0}={x|x=1或x=-2}={1，-2}，
∴A∩B={1，-2}，
∴1∈A∩B正确．
若1∈A∩B，
则

1+p-2q=0 1+q-4q2+2p=0

，
即1+q-4q²+2（2q-1）=0，
∴4q²-5q+1=0，解得q=1或q=

1

4

，
当q=1时，p=1，
当q=

1

4

时，p=-

1

2

．
∴“实数p=q=1”是“1∈A∩B”的充分不必要条件．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用根与方程之间的公式，以及集合的基本运算是解决本题的关键．