Question

an=

∫

n 0

(2x+1)dx，数列{

1

an

}的前项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-8，则b_nS_n的最小值为（　　）

• A、-4
• B、-3
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：定积分,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：求定积分得到a_n，则

1

an

的通项可求，由裂项相消法求数列{

1

an

}的前项和为S_n，代入b_nS_n中配方，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由an=

∫

n 0

(2x+1)dx=(x2+x)

|

n 0

=n²+n，
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

an

}的前项和为S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
又b_n=n-8，
∴b_nS_n=(n-8)•

n

n+1

=

(n+1)2-10(n+1)+9

n+1

=(n+1)+

9

n+1

-10≥2

(n+1)• 9 n+1

-10=-4．
当且仅当n+1=

9

n+1

，即n=2时等号成立．
故选：A．

点评：本题考查了定积分，考查了裂项相消法求数列的和，训练了基本不等式求最值，是中档题．