Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n+1

，前n项和为S_n．若对于任意正整数n，不等式S_2n-S_n＞

m

16

恒成立，则常数m所能取得的最大整数为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，推导出S_2n-S_n=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

，设b_n=S_2n-S_n，推导出b_n+1-b_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+2

＞0，得到{b_n}的最小值是b₁，由此能求出结果．

解答： 解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n+1

，前n项和为S_n．
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
S_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1+…+a_2n，
∴S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n
=（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

）-（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

）
=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

，
设b_n=S_2n-S_n，
则b_n+1-b_n=（

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+1

+

1

2n+2

+

1

2n+3

）-（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

）
=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+2

＞0，
∴{b_n}是递增数列
∴{b_n}的最小值是b₁，
∵不等式S_2n-S_n＞

m

16

恒成立，∴b₁＞

m

16

．
b₁=S₂-S₁=（a

1

+a₂）-a₁=a₂=

1

3

，
∴

1

3

＞

m

16

，解得m＜

16

3

．
∴m的最大值是5．
故答案为：5．

点评：本题考查数列前n项和公式的求法和应用，综合性强，难度较大，对数学思维能力的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．