Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=k（x+2）与圆x²+y²=4交于A，B两点，且

OA

•

OB

=-2，则实数k的值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线与圆相交的性质

专题：平面向量及应用

分析：联立直线和圆的方程，消掉y后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到两交点的横纵坐标的积，代入

OA

•

OB

=-2求得k的值．

解答： 解：联立

y=k(x+2) x2+y2=4

，得（k²+1）x²+4k²x+4k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4k2

k2+1

，x1x2=

4k2-4

k2+1

，
y₁y₂=k（x₁+2）•k（x₂+2）=k²[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]
=k2[

4k2-4

k2+1

+2×(-

4k2

k2+1

)+4]=0．
由

OA

•

OB

=-2，得x1x2+y1y2=

4k2-4

k2+1

=-2，
解得：k=-

3

3

或k=

3

3

．
故答案为：-

3

3

或

3

3

．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了向量的数量积运算，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．