Question

已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，
（1）求cos（

α+β

2

）；
（2）求tan（α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件求得 sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，再根据 cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，
利用两角差的余弦公式求得结果．
（2）由（1）可得

α+β

2

∈（

π

4

，

3π

4

）以及sin

α+β

2

=

1-cos2(  α+β 2 )

 的值，可得 tan

α+β

2

的值，再利用二倍角公式求得 tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，
∴sin（α-

β

2

）=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

．
∴cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

 ）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

） cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

．
（2）由（1）可得

α+β

2

∈（

π

4

，

3π

4

 ），∴sin

α+β

2

=

1-cos2(  α+β 2 )

=

22

27

，
∴tan

α+β

2

=

sin α+β 2

cos  α+β 2

=

22

7 5

，∴tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2  α+β 2

=

308 5

239

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．