Question

已知函数f（x）=

2

sinx+

2

cos（x-π）
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函数f（x）的图象过点（α，

6

5

），

π

4

＜α＜

3π

4

．求f（

π

4

+α）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（x-

π

4

），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（2）依题意易知，sin（α-

π

4

）=

3

5

，cos（α-

π

4

）=

4

5

，利用两角和的正弦即可求得f（

π

4

+α）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

sinx-

2

cosx
=2（

2

2

sinx-

2

2

cosx）
=2sin（x-

π

4

），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π，值域为[-2，2]；
（2）∵f（α）=2sin（α-

π

4

）=

6

5

，
∴sin（α-

π

4

）=

3

5

，
又

π

4

＜α＜

3π

4

，
∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

4

）=

1-sin2(α- π 4 )

=

4

5

，
∴f（

π

4

+α）=2sin[（

π

4

+α）-

π

4

]
=2sin[（α-

π

4

）+

π

4

]
=2（sin（α-

π

4

）cos

π

4

+cos（α-

π

4

）sin

π

4

）
=2（

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

）
=

7 2

5

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查同角三角函数间的关系与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．