Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2（e≈2.71，a∈R）．
（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）的公共点个数；
（Ⅱ）当x∈[

1

e

，e]时，若函数y=f（x）-g（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，确定曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线，与g（x）=-x²+ax-2联立，利用根的判别式，即可得出结论；
（Ⅱ）由y=0得a=x+

2

x

+lnx，构造新函数，求导函数，确定其单调性，可得最值，即可确定a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，所以斜率k=f'（1）=1…（2分）
又f（1）=0，曲线在点（1，0）处的切线方程为y=x-1…（3分）
由

y=-x2+ax-2 y=x-1

⇒x2+(1-a)x+1=0…（4分）
由△=（1-a）²-4=a²-2a-3可知：
当△＞0时，即a＜-1或a＞3时，有两个公共点；
当△=0时，即a=-1或a=3时，有一个公共点；
当△＜0时，即-1＜a＜3时，没有公共点            …（7分）
（Ⅱ）y=f（x）-g（x）=x²-ax+2+xlnx，
由y=0得a=x+

2

x

+lnx…（8分）
令h(x)=x+

2

x

+lnx，
则 h′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

当x∈[

1

e

，e]，由  h'（x）=0得 x=1…（10分）
所以，h（x）在[

1

e

，1]上单调递减，在[1，e]上单调递增
因此，h_min（x）=h（1）=3…（11分）
由h(

1

e

)=

1

e

+2e-1，h(e)=e+

2

e

+1，
比较可知h(

1

e

)＞h(e)
所以，当3＜a≤e+

2

e

+1时，函数y=f（x）-g（x）有两个零点．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于中档题．