Question

一批旅游者决定分乘几辆大汽车，要使每车有同样的人数．起先，每车乘坐22人，可是发现这时有1人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅游者刚好平均分乘余下的汽车．问原先有多少辆汽车和这批旅游者有多少人？（已知每辆汽车最多容纳32人）

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：设原先有k辆汽车，而开走一辆空车后，留下的每车乘n人，可得旅游者人数，一辆空车开走后，所有的旅游者的人数，从而可得n=

22k+1

k-1

=22+

23

k-1

，根据n是自然数，利用

23

k-1

必须是整数，即可得出结论．

解答： 解：设原先有k辆汽车，而开走一辆空车后，留下的每车乘n人．不难发现k≥2，n≤32．
旅游者人数显然等于22k+1，一辆空车开走后，所有的旅游者为n（k-1）人．
所以22k+1=n（k-1）
由此n=

22k+1

k-1

=22+

23

k-1

，
因为n是自然数，所以

23

k-1

必须是整数，
但23是素数，又k≥2，因此k-1=1或k-1=23，
所以k=2或k=24．
如果k=2，那么n=45，不满足题目的条件．
如果k=24，那么n=23，满足题目的条件．
在这种情况下，旅游者的人数等于n（k-1）=23×23=529．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定22k+1=n（k-1）是解题的关键．