Question

已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a（a∈R），若当x∈[

π

4

，

π

2

]时，f（x）的最大值为2+

3

，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：先利用二倍角、辅助角公式，化简函数，再结合x∈[

π

4

，

π

2

]，利用三角函数的性质，求出函数的最值，利用f（x）的最大值为2+

3

，即可求a的值．

解答： 解：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a=cos2x+1+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+1+a，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴2x+

π

6

=

2π

3

，即x=

π

4

时，f（x）取得最大值

3

+1+a，
∵当x∈[

π

4

，

π

2

]时，f（x）的最大值为2+

3

，
∴

3

+1+a=2+

3

，
∴a=1．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确运用二倍角、辅助角公式化简是关键．