Question

已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）的导函数g′（x）=e^x，且g（0）g′（1）=e，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜

x-m+3

x

成立，试求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，对于?x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，求出导数f'（x）=a+

1

x

，分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，a≥0时由单调性易判断；当a＜0时可得极值；
（Ⅱ）由g'（x）=e^x，可设g（x）=e^x+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（xg(x)＜

x-m+3

x

成立，分离出参数m后可得m＜x-ex

x

+3，令h(x)=x-ex

x

+3，则问题可转化为：m＜h（x）_max，利用导数可求得h（x）_max；
（Ⅲ）a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，φ′(x)=ex-

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数，设φ'（x）=0的根为x=t，则et=

1

t

，即t=e^-t，易知φ（x）的最小值为φ（t），通过放缩可判断φ（t）＞0，从而可得结论；

解答： 解：（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

（x＞0）．
当a≥0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）没有极值；
当a＜0时，f′(x)=

a(x+ 1 a )

x

，
若x∈(0，-

1

a

)时，f'（x）＞0；若x∈(-

1

a

，+∞)时，f'（x）＜0，
∴f（x）存在极大值，且当x=-

1

a

时，f(x)极大=f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1；
综上可知：当a≥0时，f（x）没有极值；当a＜0时，f（x）存在极大值，且当x=-

1

a

时，f(x)极大=f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1；
（Ⅱ）∵函数g（x）的导函数g'（x）=e^x，
∴g（x）=e^x+c，
又∵g（0）g'（1）=e，
∴（1+c）e=e⇒c=0，∴g（x）=e^x，
∵?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜

x-m+3

x

成立，
∴?x∈（0，+∞），使得m＜x-ex

x

+3成立，
令h(x)=x-ex

x

+3，则问题可转化为：m＜h（x）_max，
对于h(x)=x-ex

x

+3，x∈（0，+∞），由于h′(x)=1-ex(

x

+

1

2 x

)，
当x∈（0，+∞）时，
∵e^x＞1，

x

+

1

2 x

≥2

x • 1 2 x

=

2

，
∴ex(

x

+

1

2 x

)＞1，
∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3；
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，
则φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)=ex-

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数，
设φ'（x）=0的根为x=t，则et=

1

t

，即t=e^-t，
∵当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；
当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，
∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2，
∵φ'（1）=e-1＞0，φ′(

1

2

)=

e

-2＜0，
∴t∈(

1

2

，1)，
由于φ（t）=e^t+t-2在t∈(

1

2

，1)上为增函数，
∴φ(x)min=φ(t)=et+t-2＞e

1

2

+

1

2

-2＞

2.25

+

1

2

-2=0，
∴f（x）＜g（x）-2．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值及证明不等式等问题，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生的推理论证能力、分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求较高．