Question

已知函数f（x）=xlnx
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若对一切x∈（0，+∞），都有f（x）≤x²-ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）试判断函数y=lnx-

1

ex

+

2

ex

是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导函数，由导函数的零点对函数定义域分段，判断导函数在各区间段内的符号，从而得到原函数的单调区间，由增减性得到极小值，也就是最小值；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≤x²-ax+2，分离参数a后构造辅助函数g(x)=x-lnx+

2

x

，求出该函数的最小值，则参数a的取值范围可求；
（3）把函数y=lnx-

1

ex

+

2

ex

对应的方程转化为xlnx=

x

ex

-

2

e

，由（1）知左边函数的最小值，利用导数求得右边函数的最大值，可知右边函数的最大值小于左边函数的最小值，从而说明函数y=lnx-

1

ex

+

2

ex

没有零点．

解答： 解：（1）f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，
故x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴x=

1

e

时，f（x）取得最小值f(

1

e

)=-

1

e

；
（2）由f（x）≤x²-ax+2得：xlnx≤x²-ax+2，
∵x＞0，∴a≤x-lnx+

2

x

，
令g(x)=x-lnx+

2

x

，
g′(x)=1-

1

x

-

2

x2

=

x2-x-2

x2

=

(x-2)(x+1)

x2

(x＞0)，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
∴[g（x）]_min=g（2）=3-ln2，
∵对一切x∈（0，+∞），都有a≤x-lnx+

2

x

恒成立，
∴a∈（-∞，3-ln2]；
（3）令lnx-

1

ex

+

2

ex

=0，则xlnx=

x

ex

-

2

e

，即f(x)=

x

ex

-

2

e

，
由（1）知当x∈（0，+∞）时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

，
设h(x)=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，则h′(x)=

1-x

ex

，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h(x)max=h(1)=-

1

e

．
∴对一切x∈（0，+∞），f（x）＞h（x），即lnx-

1

ex

+

2

ex

＞0．
∴函数y=lnx-

1

ex

+

2

ex

没有零点．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用分离变量法求解恒成立问题中的参数范围问题，体现了数学转化思想方法，解答（2）的关键在于把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，是高考试卷中的压轴题．